We define a certant generating function for polytopes and show that it satisfies a functional equation that simultaneously generalizes Ehrhart–Macdonald reciprocity and the Dehn–Sommerville relations.
В пособии приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач по дисциплине «Методы оптимизации». Изложение материала ведется с упором на решение практических задач. В пособии используются примеры, иллюстрирующие применения, связанные с задачами МЧС России.
We construct generalized Weyman complexes for coherent sheaves on projective space and describe explicitly how the differential depend on the differentials in the correpsonding Tate resolution. We apply this to define the Weyman complex of a coherent sheaf on a projective variety and explain how certain Weyman complexes can be regarded as Fourier-Mukai transforms.
This paper studies the regularity of certain coherent sheaves that arise naturally from Segre-Veronese embeddings of a product of projective spaces. We give an explicit formula for the regularity of these sheaves and show that their regularity is subadditive. We then apply our results to study the Tate resolutions of these sheaves.
We give an explicit description of the terms and differentials of the Tate resolution of sheaves arising from Segre embeddings of $\mathbb{P}^a\times\mathbb{P}^b$. We prove that the maps in this Tate resolution are either coming from Sylvester-type maps, or from Bezout-type maps arising from the so-called toric Jacobian.
Using the Caley trick, we define the notions of mixed toric residues and mixed Hessians associated with $f_1, \ldots, f_r$ Laurent polynomials. We conjecture that the values of the mixed toric residues on the mixed Hessians are determined by mixwd volumes of the Newton polypopes of $f_1, \ldots, f_r$. Using mixed toric residues, we generalize our Toric Residue Mirror Conjecture to the case of Calabi-Yau complete intersections in Gorenstein toric Fano varieties obtained from nef-partitions of reflexive polytopes.
Мы развиваем некоторые идеи Моррисона и формулируем точную математическую гипотезу, которая имеет непосредственное отношение к зеркальной симметрии. Наша гипотеза, мы называем ее зеркальной гипотезой торического вычета, состоит в том, что образующие функции индексов пересечения дивизоров на специальной последовательности торических многообразий являются разложениями в степенной ряд некоторых рациональных функций, полученных как торические вычеты. Мы надеемся, что гипотеза верна для всех горенштейновых торических многообразий Фано, ассоциированных с рефлексивными многогранниками, и указываем на очевидность этого. Предложенная гипотеза дает простой метод вычисления юкавских спариваний для зеркальных торических гиперповерхностей Калаби–Яу, не используя решения систем дифференциальных уравнений. Мы делаем несколько точных вычислений для гиперповерхностей Калаби–Яу во взвешенных проективных пространствах и в произведении проективных пространств.
The purpose of this paper is to give an explicit formula which allows one to compute the dimension of the cohomology groups of the sheaf $\Omega_{\mathbb{P}}^p(D)= \Omega_{\mathbb{P}}^p\otimes {\mathcal{O}_\mathbb{P}}(D)$ of $p$-th differential forms Zariski twisted by an ample invertible sheaf on a complete simplicial toric variety. The formula involves some combinatorial sums of integer points over all faces of the support polytope for ${\mathcal{O}_\mathbb{P}}(D)$. Comparison of two versions of the Bott formula gives some elegant corollaries in the combinatorics of simple polytopes. Also, we obtain a generalization of the reciprocity law. Some applications of the Bott formula are discussed.